Биноминальное распределение. Биномиальное распределение дискретной случайной величины Биномиальное распределение пример

Биномиальное распределение - одно из важнейших распределений вероятностей дискретно изменяющейся случайной величины. Биномиальным распределением называется распределение вероятностей числа m наступления события А в n взаимно независимых наблюдениях . Часто событие А называют "успехом" наблюдения, а противоположное ему событие - "неуспехом", но это обозначение весьма условное.

Условия биномиального распределения :

• в общей сложности проведено n испытаний, в которых событие А может наступить или не наступить;
• событие А в каждом из испытаний может наступить с одной и той же вероятностью p ;
• испытания являются взаимно независимыми.

Вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит именно m раз, можно вычислить по формуле Бернулли:

где p - вероятность наступления события А ;

q = 1 - p - вероятность наступления противоположного события .

Разберёмся, почему биномиальное распределение описанным выше образом связано с формулой Бернулли . Событие - число успехов при n испытаниях распадается на ряд вариантов, в каждом из которых успех достигается в m испытаниях, а неуспех - в n - m испытаниях. Рассмотрим один из таких вариантов - B 1 . По правилу сложения вероятностей умножаем вероятности противоположных событий:

,

а если обозначим q = 1 - p , то

.

Такую же вероятность будет иметь любой другой вариант, в котором m успехов и n - m неуспехов. Число таких вариантов равно - числу способов, которыми можно из n испытаний получить m успехов.

Сумма вероятностей всех m чисел наступления события А (чисел от 0 до n ) равна единице:

где каждое слагаемое представляет собой слагаемое бинома Ньютона. Поэтому рассматриваемое распределение и называется биномиальным распределением.

На практике часто необходимо вычислять вероятности "не более m успехов в n испытаниях" или "не менее m успехов в n испытаниях". Для этого используются следующие формулы.

Интегральную функцию, то есть вероятность F (m ) того, что в n наблюдениях событие А наступит не более m раз , можно вычислить по формуле:

В свою очередь вероятность F (≥m ) того, что в n наблюдениях событие А наступит не менее m раз , вычисляется по формуле:

Иногда бывает удобнее вычислять вероятность того, что в n наблюдениях событие А наступит не более m раз, через вероятность противоположного события:

.

Какой из формул пользоваться, зависит от того, в какой из них сумма содержит меньше слагаемых.

Характеристики биномиального распределения вычисляются по следующим формулам .

Математическое ожидание: .

Дисперсия: .

Среднеквадратичное отклонение: .

Биномиальное распределение и расчёты в MS Excel

Вероятность биномиального распределения P n (m ) и значения интегральной функции F (m ) можно вычислить при помощи функции MS Excel БИНОМ.РАСП. Окно для соответствующего расчёта показано ниже (для увеличения нажать левой кнопкой мыши).

MS Excel требует ввести следующие данные:

• число успехов;
• число испытаний;
• вероятность успеха;
• интегральная - логическое значение: 0 - если нужно вычислить вероятность P n (m ) и 1 - если вероятность F (m ).

Пример 1. Менеджер фирмы обобщил информацию о числе проданных в течение последних 100 дней фотокамер. В таблице обобщена информация и рассчитаны вероятности того, что в день будет продано определённое число фотокамер.

День завершён с прибылью, если продано 13 или более фотокамер. Вероятность, что день будет отработан с прибылью:

Вероятность того, что день будет отработан без прибыли:

Пусть вероятность того, что день отработан с прибылью, является постоянной и равна 0,61, и число проданных в день фотокамер не зависит от дня. Тогда можно использовать биномиальное распределение, где событие А - день будет отработан с прибылью, - без прибыли.

Вероятность того, что из 6 дней все будут отработаны с прибылью:

.

Тот же результат получим, используя функцию MS Excel БИНОМ.РАСП (значение интегральной величины - 0):

P 6 (6 ) = БИНОМ.РАСП(6; 6; 0,61; 0) = 0,052.

Вероятность того, что из 6 дней 4 и больше дней будут отработаны с прибылью:

где ,

,

Используя функцию MS Excel БИНОМ.РАСП, вычислим вероятность того, что из 6 дней не более 3 дней будут завершены с прибылью (значение интегральной величины - 1):

P 6 (≤3 ) = БИНОМ.РАСП(3; 6; 0,61; 1) = 0,435.

Вероятность того, что из 6 дней все будут отработаны с убытками:

,

Тот же показатель вычислим, используя функцию MS Excel БИНОМ.РАСП:

P 6 (0 ) = БИНОМ.РАСП(0; 6; 0,61; 0) = 0,0035.

Решить задачу самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2. В урне 2 белых шара и 3 чёрных. Из урны вынимают шар, устанавливают цвет и кладут обратно. Попытку повторяют 5 раз. Число появления белых шаров - дискретная случайная величина X , распределённая по биномиальному закону. Составить закон распределения случайной величины. Определить моду, математическое ожидание и дисперсию.

Продолжаем решать задачи вместе

Пример 3. Из курьерской службы отправились на объекты n = 5 курьеров. Каждый курьер с вероятностью p = 0,3 независимо от других опаздывает на объект. Дискретная случайная величина X - число опоздавших курьеров. Построить ряд распределения это случайной величины. Найти её математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Найти вероятность того, что на объекты опоздают не менее двух курьеров.

- (binomial distribution) Распределение, позволяющее рассчитать вероятность наступления какого либо случайного события, полученного в результате наблюдений ряда независимых событий, если вероятность наступления, составляющих его элементарных… … Экономический словарь

- (распределение Бернулли) распределение вероятностей числа появлений некоторого события при повторных независимых испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна p(0 p 1). Именно, число? появлений этого события есть… … Большой Энциклопедический словарь

биномиальное распределение - — Тематики электросвязь, основные понятия EN binomial distribution …

- (распределение Бернулли), распределение вероятностей числа появлений некоторого события при повторных независимых испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна р (0≤р≤1). Именно, число μ появлений этого события… … Энциклопедический словарь

биномиальное распределение - 1.49. биномиальное распределение Распределение вероятностей дискретной случайной величины X, принимающей любые целые значения от 0 до n, такое что при х = 0, 1, 2, ..., n и параметрах n = 1, 2, ... и 0 < p < 1, где Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Распределение Бернулли, распределение вероятностей случайной величины X, принимающей целочисленные значения с вероятностями соответственно (биномиальный коэффициент; р параметр Б. р., наз. вероятностью положительного исхода, принимающей значения … Математическая энциклопедия

Распределение вероятностей числа появлений некоторого события при повторных независимых испытаниях. Если при каждом испытании вероятность появления события равна р, причём 0 ≤ p ≤ 1, то число μ появлений этого события при n независимых… … Большая советская энциклопедия

- (распределение Бернулли), распределение вероятностей числа появлений нек рого события при повторных независимых испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна р (0<или = p < или = 1). Именно, число м появлений … Естествознание. Энциклопедический словарь

Биномиальное распределение вероятностей - (binomial distribution) Распределение, которое наблюдается в случаях, когда исход каждого независимого эксперимента (статистического наблюдения) принимает одно из двух возможных значений: победа или поражение, включение или исключение, плюс или … Экономико-математический словарь

биномиальное распределение вероятностей - Распределение, которое наблюдается в случаях, когда исход каждого независимого эксперимента (статистического наблюдения) принимает одно из двух возможных значений: победа или поражение, включение или исключение, плюс или минус, 0 или 1. То есть… … Справочник технического переводчика

Книги

• Теория вероятностей и математическая статистика в задачах. Более 360 задач и упражнений , Д. А. Борзых. В предлагаемом пособии содержатся задачи различного уровня сложности. Однако основной акцент сделан на задачах средней сложности. Это сделано намеренно с тем, чтобы побудить студентов к…
• Теория вероятностей и математическая статистика в задачах Более 360 задач и упражнений , Борзых Д.. В предлагаемом пособии содержатся задачи различного уровня сложности. Однако основной акцент сделан на задачах средней сложности. Это сделано намеренно с тем, чтобы побудить студентов к…

Здравствуйте! Мы уже знаем, что такое распределение вероятностей. Оно может быть дискретным или непрерывным, и мы узнали, что его называют плотностью распределения вероятностей. Теперь давайте изучим парочку более распространенных распределений. Предположим, у меня есть монета, причем правильная монета, и я собираюсь ее подбросить 5 раз. Также я определю случайную величину Х, обозначу ее заглавной буквой X, она будет равна количеству «орлов» при 5 подбрасываниях. Может, у меня есть 5 монет, я подброшу их все сразу и посчитаю, сколько у меня выпало «орлов». Или у меня могла бы быть одна монета, я могла бы ее подбросить 5 раз и посчитать, сколько раз у меня выпал «орел». Это, собственно, не имеет значения. Но давайте предположим, что у меня одна монета, и я подброшу ее 5 раз. Тогда у нас не будет неопределенности. Итак, вот определение моей случайной величины. Как мы знаем, случайная величина немного отличается от обычной переменной, она больше похожа на функцию. Она присваивает какое-то значение эксперименту. И эта случайная величина довольно проста. Мы просто считаем, сколько раз выпал «орел» после 5 подбрасываний, – это и есть наша случайная величина X. Давайте подумаем, какие могут быть вероятности разных значений в нашем случае? Так, какова вероятность того, что Х (заглавная Х) равна 0? Т.е. какова вероятность того, что после 5 подбрасываний ни разу не выпадет «орел»? Ну, это, по сути, то же самое, что вероятность выпадения одних «решек» (это так, небольшой обзор теории вероятностей). У вас должны выпасть одни «решки». Какова вероятность каждой из этих «решек»? Это 1/2. Т.е. здесь должно быть 1/2 умножить на 1/2, на 1/2, на 1/2 и снова на 1/2. Т.е. (1/2)⁵. 1⁵=1, разделить на 2⁵, т.е. на 32. Вполне логично. Так… Я немного повторю то, что мы проходили по теории вероятностей. Это важно для того, чтобы понимать, куда мы сейчас движемся и как, собственно, формируется дискретное распределение вероятностей. Итак, а какова вероятность того, что у нас ровно 1 раз выпадет «орел»? Ну, «орел» мог бы выпасть при первом подбрасывании. Т.е. могло бы быть так: «орел», «решка», «решка», «решка», «решка». Или «орел» мог бы выпасть при втором подбрасывании. Т.е. могла бы быть такая комбинация: «решка», «орел», «решка», «решка», «решка» и так далее. Один «орел» мог бы выпасть после любого из 5 подбрасываний. Какова вероятность каждой из этих ситуаций? Вероятность выпадения «орла» равна 1/2. Затем вероятность выпадения «решки», равная 1/2, умножить на 1/2, на 1/2, на 1/2. Т.е. вероятность каждой из этих ситуаций равна 1/32. Так же, как и вероятность ситуации, где Х=0. По сути, вероятность любого особого порядка выпадений «орла» и «решки» будет равна 1/32. Итак, вероятность этого равна 1/32. И вероятность этого равна 1/32. И вот такие ситуации имеют место потому, что «орел» мог бы выпасть при любом из 5 подбрасываний. Следовательно, вероятность того, что точно выпадет один «орел», равна 5*1/32, т.е. 5/32. Вполне логично. Теперь начинается интересное. Какова вероятность… (буду писать каждый из примеров другим цветом)… какова вероятность того, что моя случайная величина равна 2? Т.е. я подброшу монету 5 раз, и какова вероятность того, что 2 раза точно выпадет «орел»? Это уже интереснее, правда? Какие возможны комбинации? Могла бы быть «орел», «орел», «решка», «решка», «решка». Также могла бы быть «орел», «решка», «орел», «решка», «решка». И если подумать, что эти два «орла» могут стоять в разных местах комбинации, то можно немного запутаться. Уже нельзя размышлять о размещениях так, как мы это делали здесь, вверху. Хотя… можно, только рискуете запутаться. Вы должны понять одно. Для каждой из этих комбинаций вероятность равна 1/32. ½*½*½*½*½. Т.е. вероятность каждой из этих комбинаций равна 1/32. И мы должны подумать над тем, сколько существует таких комбинаций, удовлетворяющих нашему условию (2 «орла»)? Т.е. по сути, нужно представить, что есть 5 подбрасываний монеты, и нужно из них выбрать 2, при которых выпадает «орел». Давайте представим, что наши 5 подбрасываний собрались в кружочек, также представим, что у нас есть только два стула. И мы говорим: «Хорошо, кто из вас сядет на эти стулья для «орлов»? Т.е. кто из вас будет «орлом»? И нас не интересует то, в каком порядке они сядут. Я привожу такой пример, надеясь, что так вам будет понятнее. И может, вам захочется посмотреть некоторые уроки по теории вероятностей на эту тему, когда я буду говорить о биноме Ньютона. Потому что там я более детально углублюсь во все это. Но если вы будете рассуждать таким путем, то поймете, что такое биномиальный коэффициент. Потому что если будете думать так: хорошо, у меня 5 подбрасываний, при каком подбрасывании выпадет первый «орел»? Ну, здесь 5 возможностей того, при каком по счету подбрасывании выпадет первый «орел». А сколько возможностей для второго «орла»? Ну, первое подбрасывание, которое мы уже использовали, забрало одну возможность выпадения «орла». Т.е. одна позиция «орла» в комбинации уже занята одним из подбрасываний. Теперь осталось 4 подбрасывания, значит, второй «орел» может выпасть при одном из 4 подбрасываний. И вы это видели, вот здесь. Я выбрала так, что «орел» выпал при 1-м подбрасывании, и предположила, что при 1 из 4 оставшихся бросков также должен выпасть «орел». Итак, здесь только 4 возможности. Все, что я говорю, означает, что для первого «орла» у вас есть 5 различных позиций, на которые он может выпасть. А для второго уже остается только 4 позиции. Подумайте над этим. Когда мы вычисляем вот так, то порядок учитывается. Но для нас сейчас неважно, в какой последовательности выпадают «орлы» и «решки». Мы не говорим, что это «орел 1» или что это «орел 2». В обоих случаях это просто «орел». Мы могли бы предположить, что это «орел 1», а это – «орел 2». Или могло бы быть наоборот: это мог бы быть второй «орел», а это – «первый». И я говорю это потому, что важно понять, где использовать размещения, а где – сочетания. Нас не интересует последовательность. Так что, собственно, есть только 2 способа происхождения нашего события. Значит, делим это на 2. И как вы позже увидите, здесь 2! способов происхождения нашего события. Если было бы 3 «орла», тогда здесь было бы 3!, и я покажу вам, почему. Итак, это будет равно… 5*4=20 и разделить на 2 – получится 10. Поэтому здесь 10 различных комбинаций из 32, в которых у вас точно будет 2 «орла». Итак, 10*(1/32) равно 10/32, а чему это равно? 5/16. Запишу через биномиальный коэффициент. Это значение, вот здесь, вверху. Если подумать, то это – то же самое, что и 5!, деленный на… Что означает вот это 5*4? 5! – это 5*4*3*2*1. Т.е. если мне здесь нужно только 5*4, то для этого я могу разделить 5! на 3! Это равно 5*4*3*2*1, деленное на 3*2*1. И остается только 5*4. Значит, это – то же самое, что и этот числитель. И затем, т.к. нас не интересует последовательность, нам нужно здесь 2. Собственно, 2!. Умножить на 1/32. Такой была бы вероятность того, что у нас выпало бы точно 2 «орла». Какова вероятность того, что у нас точно 3 раза выпадет «орел»? Т.е. вероятность того, что Х=3. Итак, по той же логике, первый случай выпадения «орла» может иметь место при 1 из 5 подбрасываний. Второй случай выпадения «орла» может иметь место при 1 из 4 оставшихся подбрасываний. А третий случай выпадения «орла» может иметь место при 1 из 3 оставшихся подбрасываний. А сколько существует различных способов расставить 3 подбрасывания? В общем, сколько есть способов, чтобы расставить 3 предмета по местам? Это 3! И вы можете это вычислить или, возможно, захотите пересмотреть те уроки, в которых я подробнее это объясняла. Но если вы, например, возьмете буквы A, B и C, то всего есть 6 способов, с помощью которых вы их можете расставить. Можете рассматривать это как случаи выпадения «орлов». Здесь могли бы быть ACB, CAB. Могло бы быть BAC, BCA, и… Какой последний вариант, который я не назвала? CBA. Есть 6 способов расставить 3 разных предмета. Мы делим на 6, потому что не хотим повторно засчитывать эти 6 разных способов, потому что рассматриваем их как равнозначные. Здесь нас не интересует, при каком по счету подбрасывании выпадет «орел». 5*4*3… Это можно переписать, как 5!/2!. И разделить это еще на 3!. Это он и есть. 3! равен 3*2*1. Тройки сокращаются. Это становится равным 2. Это – равным 1. Еще раз, 5*2, т.е. равно 10. Каждая ситуация имеет вероятность 1/32, потому это опять равно 5/16. И это интересно. Вероятность того, что у вас выпадет 3 «орла» равна вероятности того, что у вас есть 2 орла. И причина этому… Ну, есть много причин тому, что так получилось. Но если подумать, что вероятность того, что выпадет 3 «орла» – то же самое, что вероятность выпадения 2 «решек». И вероятность выпадения 3 «решек» должна быть такой же, как и вероятность выпадения 2-х «орлов». И хорошо, что значения вот так срабатывают. Хорошо. Какова вероятность того, что Х=4? Мы можем использовать ту же формулу, что использовали прежде. Это могло бы быть 5*4*3*2. Итак, здесь запишем 5*4*3*2… Сколько есть различных способов расставить 4 предмета? Это 4!. 4! – это, по сути, вот эта часть, вот здесь. Это 4*3*2*1. Так, это сокращается, остается 5. Затем, каждая комбинация имеет вероятность 1/32. Т.е. это равно 5/32. И еще раз заметьте, что вероятность того, что 4 раза выпадет «орел» равна вероятности того, что 1 раз выпадет «орел». И в этом есть смысл, т.к. 4 «орла» – это то же самое, что случай выпадения 1 «решки». Вы скажете: ну, и при каком же подбрасывании выпадет эта одна «решка»? Ага, для этого здесь есть 5 различных комбинаций. И каждая из них имеет вероятность 1/32. И наконец, какова вероятность того, что Х=5? Т.е. выпадает «орел» 5 раз подряд. Должно быть так: «орел», «орел», «орел», «орел», «орел». Каждый из «орлов» имеет вероятность 1/2. Вы их перемножаете и получаете 1/32. Можно пойти другим путем. Если всего есть 32 способа, с помощью которых вы можете получить «орлы» и «решки» в этих экспериментах, то это – только один из этих способов. Здесь таких способов было 5 из 32. Здесь - 10 из 32. Тем не менее, вычисления мы провели, а теперь готовы нарисовать распределение вероятностей. Но мое время истекло. Позвольте продолжить на следующем уроке. А если вы в настроении, то, может, нарисуете перед тем, как смотреть следующий урок? До скорой встречи!