Главная → Сантехника → Интегралы все формулы и свойства. Основные свойства неопределенного интеграла

Интегралы все формулы и свойства. Основные свойства неопределенного интеграла

Данная статья подробно рассказывает об основных свойствах определенного интеграла. Они доказываются при помощи понятия интеграла Римана и Дарбу. Вычисление определенного интеграла проходит, благодаря 5 свойствам. Оставшиеся из них применяются для оценивания различных выражений.

Перед переходом к основным свойствам определенного интеграла, необходимо удостовериться в том, что a не превосходит b .

Основные свойства определенного интеграла

Определение 1

Функция y = f (x) , определенная при х = а, аналогично справедливому равенству ∫ a a f (x) d x = 0 .

Доказательство 1

Отсюда видим, что значением интеграла с совпадающими пределами равняется нулю. Это следствие интеграла Римана, потому как каждая интегральная сумма σ для любого разбиения на промежутке [ a ; a ] и любого выбора точек ζ i равняется нулю, потому как x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , значит, получаем, что предел интегральных функций – ноль.

Определение 2

Для функции, интегрируемой на отрезке [ a ; b ] , выполняется условие ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x .

Доказательство 2

Иначе говоря, если сменить верхний и нижний предел интегрирования местами, то значение интеграла поменяет значение на противоположное. Данное свойство взято из интеграла Римана. Однако, нумерация разбиения отрезка идет с точки х = b .

Определение 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x применяется для интегрируемых функций типа y = f (x) и y = g (x) , определенных на отрезке [ a ; b ] .

Доказательство 3

Записать интегральную сумму функции y = f (x) ± g (x) для разбиения на отрезки с данным выбором точек ζ i: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i · x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) · x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i · x i - x i - 1 = σ f ± σ g

где σ f и σ g являются интегральными суммами функций y = f (x) и y = g (x) для разбиения отрезка. После перехода к пределу при λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n (x i - x i - 1) → 0 получаем, что lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

Из определения Римана это выражение является равносильным.

Определение 4

Вынесение постоянного множителя за знак определенного интеграла. Интегрируемая функция из интервала [ a ; b ] с произвольным значением k имеет справедливое неравенство вида ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x .

Доказательство 4

Доказательство свойства определенного интеграла аналогично предыдущему:

σ = ∑ i = 1 n k · f ζ i · (x i - x i - 1) = = k · ∑ i = 1 n f ζ i · (x i - x i - 1) = k · σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k · σ f) = k · lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x

Определение 5

Если функция вида y = f (x) интегрируема на интервале x с a ∈ x , b ∈ x , получаем, что ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x .

Доказательство 5

Свойство считается справедливым для c ∈ a ; b , для c ≤ a и c ≥ b . Доказательство проводится аналогично предыдущим свойствам.

Определение 6

Когда функция имеет возможность быть интегрируемой из отрезка [ a ; b ] , тогда это выполнимо для любого внутреннего отрезка c ; d ∈ a ; b .

Доказательство 6

Доказательство основывается на свойстве Дарбу: если у имеющегося разбиения отрезка произвести добавление точек, тогда нижняя сумма Дарбу не будет уменьшаться, а верхняя не будет увеличиваться.

Определение 7

Когда функция интегрируема на [ a ; b ] из f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 при любом значении x ∈ a ; b , тогда получаем, что ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

Свойство может быть доказано при помощи определения интеграла Римана: любая интегральная сумма для любого выбора точек разбиения отрезка и точек ζ i с условием, что f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 , получаем неотрицательной.

Доказательство 7

Если функции y = f (x) и y = g (x) интегрируемы на отрезке [ a ; b ] , тогда следующие неравенства считаются справедливыми:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x , е с л и f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , е с л и f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; b

Благодаря утверждению знаем, что интегрирование допустимо. Данное следствие будет использовано в доказательстве других свойств.

Определение 8

При интегрируемой функции y = f (x) из отрезка [ a ; b ] имеем справедливое неравенство вида ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Доказательство 8

Имеем, что - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Из предыдущего свойства получили, что неравенство может быть интегрировано почленно и ему соответствует неравенство вида - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x . Данное двойное неравенство может быть записано в другой форме: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Определение 9

Когда функции y = f (x) и y = g (x) интегрируются из отрезка [ a ; b ] при g (x) ≥ 0 при любом x ∈ a ; b , получаем неравенство вида m · ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) · g (x) d x ≤ M · ∫ a b g (x) d x , где m = m i n x ∈ a ; b f (x) и M = m a x x ∈ a ; b f (x) .

Доказательство 9

Аналогичным образом производится доказательство. M и m считаются наибольшим и наименьшим значением функции y = f (x) , определенной из отрезка [ a ; b ] , тогда m ≤ f (x) ≤ M . Необходимо умножить двойное неравенство на функцию y = g (x) , что даст значение двойного неравенства вида m · g (x) ≤ f (x) · g (x) ≤ M · g (x) . Необходимо проинтегрировать его на отрезке [ a ; b ] , тогда получим доказываемое утверждение.

Следствие: При g (x) = 1 неравенство принимает вид m · b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M · (b - a) .

Первая формула среднего значения

Определение 10

При y = f (x) интегрируемая на отрезке [ a ; b ] с m = m i n x ∈ a ; b f (x) и M = m a x x ∈ a ; b f (x) имеется число μ ∈ m ; M , которое подходит ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .

Следствие: Когда функция y = f (x) непрерывная из отрезка [ a ; b ] , то имеется такое число c ∈ a ; b , которое удовлетворяет равенству ∫ a b f (x) d x = f (c) · b - a .

Первая формула среднего значения в обобщенной форме

Определение 11

Когда функции y = f (x) и y = g (x) являются интегрируемыми из отрезка [ a ; b ] с m = m i n x ∈ a ; b f (x) и M = m a x x ∈ a ; b f (x) , а g (x) > 0 при любом значении x ∈ a ; b . Отсюда имеем, что есть число μ ∈ m ; M , которое удовлетворяет равенству ∫ a b f (x) · g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x .

Вторая формула среднего значения

Определение 12

Когда функция y = f (x) является интегрируемой из отрезка [ a ; b ] , а y = g (x) является монотонной, тогда имеется число, которое c ∈ a ; b , где получаем справедливое равенство вида ∫ a b f (x) · g (x) d x = g (a) · ∫ a c f (x) d x + g (b) · ∫ c b f (x) d x

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

В этой статье мы перечислим основные свойства определенного интеграла. Большинство этих свойств доказываются на основе понятий определенного интеграла Римана и Дарбу .

Вычисление определенного интеграла очень часто проводится с использованием первых пяти свойств, так что мы будем при надобности на них ссылаться. Остальные свойства определенного интеграла, в основном, применяются для оценки различных выражений.

Прежде чем перейти к основным свойствам определенного интеграла , условимся, что a не превосходит b .

Для функции y = f(x) , определенной при x = a , справедливо равенство .

То есть, значение определенного интеграла с совпадающими пределами интегрирования равно нулю. Это свойство является следствием определения интеграла Римана, так как в этом случае каждая интегральная сумма для любого разбиения промежутка и любого выбора точек равна нулю, так как , следовательно, пределом интегральных сумм является ноль.

Для интегрируемой на отрезке функции выполняется .

Другими словами, при перемене верхнего и нижнего пределов интегрирования местами значение определенного интеграла меняется на противоположное. Это свойство определенного интеграла также следует из понятия интеграла Римана, только нумерацию разбиения отрезка следует начинать с точки x = b .

для интегрируемых на отрезке функций y = f(x) и y = g(x) .

Доказательство.

Запишем интегральную сумму функции для данного разбиения отрезка и данного выбора точек :

где и - интегральные суммы функций y = f(x) и y = g(x) для данного разбиения отрезка соответственно.

Переходя к пределу при получим , что по определению интеграла Римана равносильно утверждению доказываемого свойства.

Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла. То есть, для интегрируемой на отрезке функции y = f(x) и произвольного числа k справедливо равенство .

Доказательство этого свойства определенного интеграла абсолютно схоже с предыдущим:

Пусть функция y = f(x) интегрируема на интервале X , причем и , тогда .

Это свойство справедливо как для , так и для или .

Доказательство можно провести, опираясь на предыдущие свойства определенного интеграла.

Если функция интегрируема на отрезке , то она интегрируема и на любом внутреннем отрезке .

Доказательство основано на свойстве сумм Дарбу: если к имеющемуся разбиению отрезка добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу не уменьшится, а верхняя – не увеличиться.

Если функция y = f(x) интегрируема на отрезке и для любого значения аргумента , то .

Это свойство доказывается через определение интеграла Римана: любая интегральная сумма для любого выбора точек разбиения отрезка и точек при будет неотрицательной (не положительной).

Следствие.

Для интегрируемых на отрезке функций y = f(x) и y = g(x) справедливы неравенства:

Это утверждение означает, что допустимо интегрирование неравенств. Этим следствием мы будем пользоваться при доказательстве следующих свойств.

Пусть функция y = f(x) интегрируема на отрезке , тогда справедливо неравенство .

Доказательство.

Очевидно, что . В предыдущем свойстве мы выяснили, что неравенство можно почленно интегрировать, поэтому, справедливо . Это двойное неравенство можно записать как .

Пусть функции y = f(x) и y = g(x) интегрируемы на отрезке и для любого значения аргумента , тогда , где и .

Доказательство проводится аналогично. Так как m и M – наименьшее и наибольшее значение функции y = f(x) на отрезке , то . Домножение двойного неравенства на неотрицательную функцию y = g(x) приводит нас к следующему двойному неравенству . Интегрируя его на отрезке , придем к доказываемому утверждению.

Следствие.

Если взять g(x) = 1 , то неравенство примет вид .

Первая формула среднего значения.

Пусть функция y = f(x) интегрируема на отрезке , и , тогда существует такое число , что .

Следствие.

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке , то найдется такое число , что .

Первая формула среднего значения в обобщенной форме.

Пусть функции y = f(x) и y = g(x) интегрируемы на отрезке , и , а g(x) > 0 для любого значения аргумента . Тогда существует такое число , что .

Вторая формула среднего значения.

Если на отрезке функция y = f(x) интегрируема, а y = g(x) монотонна, то существует такое число , что справедливо равенство .

Данные свойства используются для осуществления преобразований интеграла с целью его приведения к одному из элементарных интегралов и дальнейшему вычислению.

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

Причем a ≠ 0

5. Интеграл суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов:

6. Свойство является комбинацией свойств 4 и 5:

Причем a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Свойство инвариантности неопределенного интеграла:

Если , то

8. Свойство:

Если , то

Фактически данное свойство представляет собой частный случай интегрирования при помощи метода замены переменной , который более подробно рассмотрен в следующем разделе.

Рассмотрим пример:

Сначала мы применили свойство 5, затем свойство 4, затем воспользовались таблицей первообразных и получили результат.

Алгоритм нашего онлайн калькулятора интегралов поддерживает все перечисленные выше свойства и без труда найдет подробное решение для вашего интеграла.

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

Причем a ≠ 0

5. Интеграл суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов:

6. Свойство является комбинацией свойств 4 и 5:

Причем a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Свойство инвариантности неопределенного интеграла:

Если , то

8. Свойство:

Если , то

Рассмотрим пример:

Первообразная и неопределенный интеграл.

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство для любого х из заданного промежутка.

Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство . Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается .

Выражение называют подынтегральным выражением, а f(x) – подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).

Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.

Табличные интегралы

Простейшие свойства интегралов

1. Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

2. Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

3. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

4. Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла приведены для пояснения.

Для доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств:

Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах.

Таким образом, задача интегрирования является обратной задаче дифференцирования, причем между этими задачами очень тесная связь:

первое свойство позволяет проводить проверку интегрирования. Чтобы проверить правильность выполненного интегрирования достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная в результате дифференцирования функция окажется равной подынтегральной функции, то это будет означать, что интегрирование проведено верно;

второе свойство неопределенного интеграла позволяет по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. На этом свойстве основано непосредственное вычисление неопределенных интегралов.

1.4.Инвариантность форм интегрирования.

Инвариантное интегрирование - вид интегрирования для функций, аргументом которых являются элементы группы или точки однородного пространства (любую точку такого пространства можно перевести в другую заданным действием группы).

функции f(x)сводится к вычислению интеграла от дифференциальной формы f.w, где

Явная ф-ла для r(х)приводится ниже. Условие согласования имеет вид .

здесь Tg означает оператор сдвига на X с помощью gОG: Tgf(x)=f(g-1x). Пусть X=G - топология, группа, действующая на себе левыми сдвигами. И. и. существует тогда и только тогда, когда G локально компактна (в частности, на бесконечномерных группах И. и. не существует). Для подмножества И. и. характеристических функции cA (равной 1 на A и 0 вне А)задаёт левую меру Xаара m(A). Определяющим свойством этой меры является её инвариантность при левых сдвигах: m(g-1A)=m(А)для всех gОG. Левая мера Хаара на группе определена однозначно с точностью до положит, скалярного множителя. Если известна мера Хаара m, то И. и. функции f даётся формулой . Аналогичными свойствами обладает правая мера Хаара. Существует непрерывный гомоморфизм (отображение, сохраняющее групповое свойство) DG группы G в группу (относительно умножения) положит. чисел, для которого

где dmr и dmi - правая и левая меры Хаара. Функцию DG(g) наз. модулем группы G. Если , то группа G наз. унимодулярной; в этом случае правая и левая меры Хаара совпадают. Компактные, полупростые и нильпотентные (в частности, коммутативные) группы унимодулярны. Если G - n-мерная группа Ли и q1, ...,qn - базис в пространстве левоинвариантных 1-форм на G, то левая мера Хаара на G задаётся n-формой . В локальных координатах для вычисления

форм qi можно воспользоваться любой матричной реализацией группы G: матричная 1-форма g-1dg левоинвариантна, а её коэф. являются левоинвариантными скалярными 1-формами, из которых и выбирается искомый базис. Напр., полная матричная группа GL(n, R)унимодулярна и мера Хаара на ней задаётся формой. Пусть X=G/H - однородное пространство, для которого локально компактная группа G является группой преобразований, а замкнутая подгруппа Н - стабилизатором некоторой точки. Для того чтобы на X существовало И. и., необходимо и достаточно, чтобы для всех hОH выполнялось равенство DG(h)=DH(h). В частности, это верно в случае, когда Н компактна или полупроста. Полной теории И. и. на бесконечномерных многообразиях не существует.

Замена переменных.

Это интересно: