Как определить по функции какой будет график. Линейная функция
После того, как вы действительно поймете, что такое функция (возможно, придется прочитать урок не один раз) вы с бóльшей уверенностью сможете решать задания с функциями.
В этом уроке мы разберем, как решать основные типы задач на функцию и графики функций.
Как получить значение функции
Рассмотрим задание. Функция задана формулой «y = 2x − 1 »
- Вычислить «y » при «x = 15 »
- Найти значение «x », при котором значение «y » равно «−19 ».
Для того, чтобы вычислить «y » при «x = 15 » достаточно подставить в функцию вместо «x » необходимое числовое значение.
Запись решения выглядит следующим образом.
y(15) = 2 · 15 − 1 = 30 − 1 = 29
Для того, чтобы найти «x » по известному «y », необходимо подставить вместо «y » в формулу функции числовое значение.
То есть теперь наоборот, для поиска «x » мы подставляем в функцию «y = 2x − 1 » вместо «y » число «−19 » .
−19 = 2x − 1
Мы получили линейное уравнение с неизвестным «x », которое решается по правилам решения линейных уравнений.
Запомните!
Не забывайте про правило переноса в уравнениях.
При переносе из левой части уравнения в правую (и наоборот) буква или число меняет знак на противоположный .
−19 = 2x − 1
0 = 2x − 1 + 19
−2x = −1 + 19
−2x = 18
Как и при решении линейного уравнения, чтобы найти неизвестное, сейчас требуется умножить и левую, и правую часть на «−1 » для смены знака.
−2x = 18 | · (−1)
2x = −18
Теперь разделим и левую, и правую часть на «2 », чтобы найти «x » .
2x = 18 | (: 2)
x = 9
Как проверить верно ли равенство для функции
Рассмотрим задание. Функция задана формулой «f(x) = 2 − 5x ».
Верно ли равенство «f(−2) = −18 »?
Чтобы проверить верно ли равенство, нужно подставить в функцию «f(x) = 2 − 5x » числовое значение «x = −2 » и сопоставить с тем, что получится при расчетах.
Важно!
Когда подставляете отрицательное число вместо «x », обязательно заключайте его в скобки.
Неправильно
Правильно
С помощью расчетов мы получили «f(−2) = 12 ».
Это означает, что «f(−2) = −18 » для функции «f(x) = 2 − 5x » не является верным равенством.
Как проверить, что точка принадлежит графику функции
Рассмотрим функцию «y = x 2 −5x + 6 »
Требуется выяснить, принадлежит ли графику этой функции точка с координатами (1; 2) .
Для этой задачи нет необходимости, строить график заданной функции.
Запомните!
Чтобы определить, принадлежит ли точка функции, достаточно подставить её координаты в функцию (координату по оси «Ox » вместо «x » и координату по оси «Oy » вместо «y »).
Если получится верное равенство , значит, точка принадлежит функции.
Вернемся к нашему заданию. Подставим в функцию «y = x 2 − 5x + 6 » координаты точки (1; 2) .
Вместо «x » подставим «1 ». Вместо «y » подставим «2 ».
2 = 1 2 − 5 · 1 + 6
2 = 1 − 5 + 6
2 = −4 + 6
2 = 2 (верно)
У нас получилось верное равенство, значит, точка с координатами (1; 2) принадлежит заданной функции.
Теперь проверим точку с координатами (0; 1)
.
Принадлежит ли она
функции «y = x 2 − 5x + 6
»?
Вместо «x » подставим «0 ». Вместо «y » подставим «1 ».
1 = 0 2 − 5 · 0 + 6
1 = 0 − 0 + 6
1 = 6 (неверно)
В этом случае мы не получили верное равенство. Это означает, что точка с координатами (0; 1) не принадлежит функции «y = x 2 − 5x + 6 »
Как получить координаты точки функции
С любого графика функции можно снять координаты точки. Затем необходимо убедиться, что при подстановке координат в формулу функции получается верное равенство.
Рассмотрим функцию «y(x) = −2x + 1 ». Её график мы уже строили в предыдущем уроке .
Найдем на графике функции «y(x) = −2x + 1 », чему равен «y » при x = 2 .
Для этого из значения «2 » на оси «Ox » проведем перпендикуляр к графику функции. Из точки пересечения перпендикуляра и графика функции проведем еще один перпендикуляр к оси «Oy ».
Полученное значение «−3 » на оси «Oy » и будет искомым значением «y ».
Убедимся, что мы правильно сняли координаты точки для x = 2
в функции «y(x) = −2x + 1
».
Для этого мы подставим x = 2 в формулу функции «y(x) = −2x + 1 ». Если мы правильно провели перпендикуляр, мы также должны получить в итоге y = −3 .
y(2) = −2 · 2 + 1 = −4 + 1 = −3
При расчетах мы также получили y = −3 .
Значит, мы правильно получили координаты с графика функции.
Важно!
Все полученные координаты точки с графика функции обязательно проверяйте подстановкой значений «x » в функцию.
При подстановке числового значения «x » в функцию в результате должно получиться то же значение «y », которое вы получили на графике.
При получении координат точек с графика функции высока вероятность, что вы ошибетесь, т.к. проведение перпендикуляра к осям выполняется «на глазок».
Только подстановка значений в формулу функции дает точные результаты.
Функции и их графики - одна из самых увлекательных тем в школьной математике. Жаль только, что проходит она... мимо уроков и мимо учеников. На нее вечно не хватает времени в старших классах. А те функции, которые проходят в 7-м классе, - линейная функция и парабола - слишком просты и незамысловаты, чтобы показать все разнообразие интересных задач.
Умение строить графики функций необходимо для решения задач с параметрами на ЕГЭ по математике. Это одна из первых тем курса математического анализа в вузе. Это настолько важная тема, что мы в ЕГЭ-Студии проводим по ней специальные интенсивы для старшеклассников и учителей, в Москве и онлайн. И часто участники говорят: «Жаль, что мы не знали этого раньше».
Но это не все. Именно с понятия функции и начинается настоящая, «взрослая» математика. Ведь сложение и вычитание, умножение и деление, дроби и пропорции - это все-таки арифметика. Преобразования выражений - это алгебра. А математика - наука не только о числах, но и о взаимосвязях величин. Язык функций и графиков понятен и физику, и биологу, и экономисту. И, как сказал Галилео Галилей, «Книга природы написана на языке математики» .
Точнее, Галилео Галилей сказал так:«Математика есть алфавит, посредством которого Господь начертал Вселенную».
Темы для повторения:
1. Построим график функции
Знакомая задача! Такие встречались в вариантах ОГЭ по математике. Там они считались сложными. Но сложного ничего здесь нет.
Упростим формулу функции:
График функции - прямая с выколотой точкой
2. Построим график функции
Выделим в формуле функции целую часть:
График функции - гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции
Выделение целой части - полезный прием, применяемый в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин в задачах на числа и их свойства. Он встретится вам также на первом курсе, когда придется брать интегралы.
3. Построим график функции
Он получается из графика функции растяжением в 2 раза, отражением по вертикали и сдвигом на 1 вверх по вертикали
4. Построим график функции
Главное - правильная последовательность действий. Запишем формулу функции в более удобном виде:
Действуем по порядку:
1) График функции y=sinx сдвинем на влево;
2) сожмем в 2 раза по горизонтали,
3) растянем в 3 раза по вертикали,
4) сдвинем на 1 вверх
Сейчас мы построим несколько графиков дробно-рациональных функций. Чтобы лучше понять, как мы это делаем, читайте статью «Поведение функции в бесконечности. Асимптоты».
5. Построим график функции
Область определения функции:
Нули функции: и
Прямая x = 0 (ось Y) - вертикальная асимптота функции. Асимптота - прямая, к которой бесконечно близко подходит график функции, но не пересекает ее и не сливается с ней (смотри тему «Поведение функции в бесконечности. Асимптоты»)
Есть ли другие асимптоты у нашей функции? Чтобы выяснить это, посмотрим, как ведет себя функция, когда x стремится к бесконечности.
Раскроем скобки в формуле функции:
Если x стремится к бесконечности, то стремится к нулю. Прямая является наклонной асимптотой к графику функции.
6. Построим график функции
Это дробно-рациональная функция.
Область определения функции
Нули функции: точки - 3, 2, 6.
Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.
Вертикальные асимптоты:
Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, - горизонтальная асимптота.
Вот эскиз графика:
Еще один интересный прием - сложение графиков.
7. Построим график функции
Если x стремится к бесконечности, то и график функции будет бесконечно близко подходить к наклонной асимптоте
Если x стремится к нулю, то функция ведет себя как Это мы и видим на графике:
Вот мы и построили график суммы функций. Теперь график произведения!
8. Построим график функции
Область определения этой функции - положительные числа, поскольку только для положительных x определен
Значения функции равны нулю при (когда логарифм равен нулю), а также в точках, где то есть при
При , значение {cos x} равно единице. Значение функции в этих точках будет равно
9. Построим график функции
Функция определена при Она четная, поскольку является произведением двух нечетных функций и График симметричен относительно оси ординат.
Нули функции - в точках, где то есть при
Если x стремится к бесконечности, стремится к нулю. Но что же будет, если x стремится к нулю? Ведь и x, и sin x будут становиться меньше и меньше. Как же будет вести себя частное ?
Оказывается, что если x стремится к нулю, то стремится к единице. В математике это утверждение носит название «Первого замечательного предела».
А как же производная? Да, наконец-то мы до нее добрались. Производная помогает более точно строить графики функций. Находить точки максимума и минимума, а также значения функции в этих точках.
10. Построим график функции
Область определения функции - все действительные числа, поскольку
Функция нечетна. Ее график симметричен относительно начала координат.
При x=0 значение функции равно нулю. При значения функции положительны, при отрицательны.
Если x стремится к бесконечности, то стремится к нулю.
Найдем производную функции
По формуле производной частного,
Если или
В точке производная меняет знак с «минуса» на «плюс», - точка минимума функции.
В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус», - точка максимума функции.
Найдем значения функции при x=2 и при x=-2.
Графики функций удобно строить по определенному алгоритму, или схеме. Помните, вы изучали ее в школе?
Общая схема построения графика функции:
1. Область определения функции
2. Область значений функции
3. Четность - нечетность (если есть)
4. Периодичность (если есть)
5. Нули функции (точки, в которых график пересекает оси координат)
6. Промежутки знакопостоянства функции (то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна).
7. Асимптоты (если есть).
8. Поведение функции в бесконечности
9. Производная функции
10. Промежутки возрастания и убывания. Точки максимума и минимума и значения в этих точках.
Посмотрим, как исследовать функцию с помощью графика. Оказывается, глядя на график, можно узнать всё, что нас интересует, а именно:
- область определения функции
- область значений функции
- нули функции
- промежутки возрастания и убывания
- точки максимума и минимума
- наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
Уточним терминологию:
Абсцисса
- это координата точки по горизонтали.
Ордината
- координата по вертикали.
Ось абсцисс
- горизонтальная ось, чаще всего называемая ось .
Ось ординат
- вертикальная ось, или ось .
Аргумент
- независимая переменная, от которой зависят значения функции. Чаще всего обозначается .
Другими словами, мы сами выбираем , подставляем в формулу функции и получаем .
Область определения
функции - множество тех (и только тех) значений аргумента , при которых функция существует.
Обозначается: или .
На нашем рисунке область определения функции - это отрезок . Именно на этом отрезке нарисован график функции. Только здесь данная функция существует.
Область значений функции - это множество значений, которые принимает переменная . На нашем рисунке это отрезок - от самого нижнего до самого верхнего значения .
Нули функции - точки, где значение функции равно нулю, то есть . На нашем рисунке это точки и .
Значения функции положительны
там, где . На нашем рисунке это промежутки и .
Значения функции отрицательны
там, где . У нас это промежуток (или интервал) от до .
Важнейшие понятия - возрастание и убывание функции на некотором множестве . В качестве множества можно взять отрезок , интервал , объединение промежутков или всю числовую прямую.
Функция возрастает
Иными словами, чем больше , тем больше , то есть график идет вправо и вверх.
Функция убывает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .
Для убывающей функции большему значению соответствует меньшее значение . График идет вправо и вниз.
На нашем рисунке функция возрастает на промежутке и убывает на промежутках и .
Определим, что такое точки максимума и минимума функции .
Точка максимума
- это внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней больше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
Другими словами, точка максимума - такая точка, значение функции в которой больше
, чем в соседних. Это локальный «холмик» на графике.
На нашем рисунке - точка максимума.
Точка минимума
- внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней меньше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
То есть точка минимума - такая, что значение функции в ней меньше, чем в соседних. На графике это локальная «ямка».
На нашем рисунке - точка минимума.
Точка - граничная. Она не является внутренней точкой области определения и потому не подходит под определение точки максимума. Ведь у нее нет соседей слева. Точно так же и на нашем графике не может быть точкой минимума.
Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума функции . В нашем случае это и .
А что делать, если нужно найти, например, минимум функции на отрезке ? В данном случае ответ: . Потому что минимум функции - это ее значение в точке минимума.
Аналогично, максимум нашей функции равен . Он достигается в точке .
Можно сказать, что экстремумы функции равны и .
Иногда в задачах требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. Они не обязательно совпадают с экстремумами.
В нашем случае наименьшее значение функции на отрезке равно и совпадает с минимумом функции. А вот наибольшее ее значение на этом отрезке равно . Оно достигается в левом конце отрезка.
В любом случае наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.
Линейной функцией называется функция вида y=kx+b, где x-независимая переменная, k и b-любые числа.
Графиком линейной функции является прямая.
1. Чтобы постороить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции y= ⅓
x+2, удобно взять x=0 и x=3, тогда ординаты эти точек будут равны y=2 и y=3.
Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции y= ⅓
x+2:
2.
В формуле y=kx+b число k называется коэффицентом пропорциональности:
если k>0, то функция y=kx+b возрастает
если k
Коэффициент b показывает смещение графика функции вдоль оси OY:
если b>0, то график функции y=kx+b получается из графика функцииy=kx сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY
если b
На рисунке ниже изображены графики функций y=2x+3; y= ½
x+3; y=x+3
Заметим, что во всех этих функциях коэффициент k больше нуля, и функции являются возрастающими. Причем, чем больше значение k, тем больше угол наклона прямой к положительному направлению оси OX.
Во всех функциях b=3 – и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)
Теперь рассмотрим графики функций y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3
На этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и функции убывают. Коэффициент b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)
Рассмотрим графики функций y=2x+3; y=2x; y=2x-3
Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны 2. И мы получили три параллельные прямые.
Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
График функции y=2x+3 (b=3) пересекает ось OY в точке (0;3)
График функции y=2x (b=0) пересекает ось OY в точке (0;0) - начале координат.
График функции y=2x-3 (b=-3) пересекает ось OY в точке (0;-3)
Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции y=kx+b.
Если k 0
Если k>0 и b>0 , то график функции y=kx+b имеет вид:
Если k>0 и b , то график функции y=kx+b имеет вид:
Если k, то график функции y=kx+b имеет вид:
Если k=0 , то функция y=kx+b превращается в функцию y=b и ее график имеет вид:
Ординаты всех точек графика функции y=b равны b Если b=0 , то график функции y=kx (прямая пропорциональность) проходит через начало координат:
3. Отдельно отметим график уравнения x=a. График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси OY все точки которой имеют абсциссу x=a.
Например, график уравнения x=3 выглядит так:
Внимание!
Уравнение x=a не является функцией, так одному значению аргумента соотвутствуют разные значения функции, что не соответствует определению функции.
4. Условие параллельности двух прямых:
График функции y=k 1 x+b 1 параллелен графику функции y=k 2 x+b 2 , если k 1 =k 2
5. Условие перепендикулярности двух прямых:
График функции y=k 1 x+b 1 перепендикулярен графику функции y=k 2 x+b 2 , если k 1 *k 2 =-1 или k 1 =-1/k 2
6. Точки пересечения графика функции y=kx+b с осями координат.
С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).
С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда x=-b/k. То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (-b/k;0):