Точка, линия, прямая, луч, отрезок, ломанная. Разрезаем стекло в домашних условиях: как правильно резать? Обзор Линия — это множество точек

Вступительное слово учителя:

Небольшая историческая справка: Задачами на разрезание увлекались многие ученые с древнейших времен. Решения многих простых задач на разрезание были найдены еще древними греками, китайцами, но первый систематический трактат на эту тему принадлежит перу Абуль-Вефа. Геометры всерьез занялись решением задач на разрезание фигур на наименьшее число частей и последующее построение другой фигуры в начале 20 века. Одним из основателей этого раздела был знаменитый основатель головоломок Генри Э.Дьюдени.

В наши дни любители головоломок увлекаются решением задач на разрезание прежде потому, что универсального метода решения таких задач не существует, и каждый, кто берется их решать, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению. (На занятии мы будем указывать лишь один из возможных примеров разрезания. Можно допустить, что у учащихся может получиться какая-то другая верная комбинация -- не надо этого бояться).

Данное занятие предполагается провести в виде практического занятия. Разбить участников кружка на группы по 2-3 человека. Каждой из групп предоставить заранее подготовленные учителем фигуры. Учащиеся располагают линейкой (с делениями), карандашом, ножницами. Разрешается производить с помощью ножниц лишь прямолинейные разрезы. Разрезав какую-нибудь фигуру на части, необходимо составить другую фигуру из тех же частей.

Задачи на разрезание:

1). Попробуйте разрезать изображенную на рисунке фигуру на 3 равные по форме части:

Подсказка: Маленькие фигуры очень похожи на букву Т.

2). Разрежьте теперь эту фигуру на 4 равные по форме части:

Подсказка: Легко догадаться, что маленькие фигурки будут состоять из 3 клеточек, а фигур из трех клеточек не так много. Их всего два вида: уголок и прямоугольник.

3). Разделите фигуру на две одинаковые части, и из полученных частей сложите шахматную доску.

Подсказка: Предложить начать выполнять задание со второй части, как бы получить шахматную доску. Вспомнить, какую форму имеет шахматная доска (квадрат). Посчитать имеющееся количество клеточек в длину, в ширину. (Напомнить, что клеток должно быть 8).

4). Попробуйте тремя движениями ножа разрезать сыр на восемь равных кусков.

Подсказка: попробовать разрезать сыр вдоль.

Задачи для самостоятельного решения:

1). Вырежьте квадрат из бумаги и выполните следующее:

· разрежьте на такие 4 части, из которых можно составить два равных меньших квадрата.

· разрежьте на пять частей - четыре равнобедренных треугольника и один квадрат - и сложите их так, чтобы получилось три квадрата.

Точка — это абстрактный объект, который не имеет измерительных характеристик: ни высоты, ни длины, ни радиуса. В рамках задачи важно только его местоположение

Точка обозначается цифрой или заглавной (большой) латинской буквой. Несколько точек — разными цифрами или разными буквами, чтобы их можно было различать

точка A, точка B, точка C

A B C

точка 1, точка 2, точка 3

1 2 3

Можно нарисовать на листке бумаги три точки "А" и предложить ребёнку провести линию через две точки "А". Но как понять через какие? A A A

Линия — это множество точек. У неё измеряют только длину. Ширины и толщины она не имеет

Обозначается строчными (маленькими) латинскими буквами

линия a, линия b, линия c

a b c

Линия может быть

1. замкнутой, если её начало и конец находятся в одной точке,
2. разомкнутой, если её начало и конец не соединены

замкнутые линии

разомкнутые линии

Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб и вернулся обратно в квартиру. Какая линия получилась? Правильно, замкнутая. Ты вернулся в исходную точку. Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб, зашёл в подъезд и разговорился с соседом. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку. Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку.

1. самопересекающейся
2. без самопересечений

самопересекающиеся линии

линии без самопересечений

1. прямой
2. ломанной
3. кривой

прямые линии

ломанные линии

кривые линии

Прямая линия — это линия которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, её можно бесконечно продолжать в обе стороны

Даже когда виден небольшой участок прямой, предполагается, что она бесконечно продолжается в обе стороны

Обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами — точками, лежащими на прямой

прямая линия a

a

прямая линия AB

B A

Прямые могут быть

1. пересекающимися, если имеют общую точку. Две прямые могут пересекаться только в одной точке.
   • перпендикулярными, если пересекаются под прямым углом (90°).
2. параллельными, если не пересекаются, не имеют общей точки.

параллельные линии

пересекающиеся линии

перпендикулярные линии

Луч — это часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца, её можно бесконечно продолжать только в одну сторону

У луча света на картинке начальной точкой является солнце

солнышко

Точка разделяет прямую на две части — два луча A A

Луч обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается луч, а вторая — точка, лежащая на луче

луч a

a

луч AB

B A

Лучи совпадают, если

1. расположены на одной и той же прямой,
2. начинаются в одной точке,
3. направлены в одну сторону

лучи AB и AC совпадают

лучи CB и CA совпадают

C B A

Отрезок — это часть прямой, которая ограничена двумя точками, то есть она имеет и начало и конец, а значит можно измерить её длину. Длина отрезка — это расстояние между его начальной и конечной точками

Через одну точку можно провести любое число линий, в том числе прямых

Через две точки — неограниченное количество кривых, но только одну прямую

кривые линии, проходящие через две точки

B A

прямая линия AB

B A

От прямой «отрезали» кусочек и остался отрезок. Из примера выше видно, что его длина — наикратчайшее расстояние между двумя точками. ✂ B A ✂

Отрезок обозначается двумя заглавными(большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается отрезок, а вторая — точка, которой заканчивается отрезок

отрезок AB

B A

Задача: где прямая , луч , отрезок , кривая ?

Ломанная линия — это линия, состоящая из последовательно соединённых отрезков не под углом 180°

Длинный отрезок «поломали» на несколько коротких

Звенья ломаной (похожи на звенья цепи) — это отрезки, из которых состоит ломанная. Смежные звенья — это звенья, у которых конец одного звена является началом другого. Смежные звенья не должны лежать на одной прямой.

Вершины ломаной (похожи на вершины гор) — это точка, с которой начинается ломанная, точки, в которых соединяются отрезки, образующие ломаную, точка, которой заканчивается ломанная.

Обозначается ломанная перечислением всех её вершин.

ломанная линия ABCDE

вершина ломанной A, вершина ломанной B, вершина ломанной C, вершина ломанной D, вершина ломанной E

звено ломанной AB, звено ломанной BC, звено ломанной CD, звено ломанной DE

звено AB и звено BC являются смежными

звено BC и звено CD являются смежными

звено CD и звено DE являются смежными

A B C D E 64 62 127 52

Длина ломанной — это сумма длин её звеньев: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Задача: какая ломанная длиннее , а у какой больше вершин ? У первой линии все звенья одинаковой длины, а именно по 13см. У второй линии все звенья одинаковой длины, а именно по 49см. У третьей линии все звенья одинаковой длины, а именно по 41см.

Многоугольник — это замкнутая ломанная линия

Стороны многоугольника (помогут запомнить выражения: "пойти на все четыре стороны", "бежать в сторону дома", "с какой стороны стола сядешь?") — это звенья ломанной. Смежные стороны многоугольника — это смежные звенья ломанной.

Вершины многоугольника — это вершины ломанной. Соседние вершины — это точки концов одной стороны многоугольника.

Обозначается многоугольник перечислением всех его вершин.

замкнутая ломанная линия, не имеющая самопересечения, ABCDEF

многоугольник ABCDEF

вершина многоугольника A, вершина многоугольника B, вершина многоугольника C, вершина многоугольника D, вершина многоугольника E, вершина многоугольника F

вершина A и вершина B являются соседними

вершина B и вершина C являются соседними

вершина C и вершина D являются соседними

вершина D и вершина E являются соседними

вершина E и вершина F являются соседними

вершина F и вершина A являются соседними

сторона многоугольника AB, сторона многоугольника BC, сторона многоугольника CD, сторона многоугольника DE, сторона многоугольника EF

сторона AB и сторона BC являются смежными

сторона BC и сторона CD являются смежными

сторона CD и сторона DE являются смежными

сторона DE и сторона EF являются смежными

сторона EF и сторона FA являются смежными

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Периметр многоугольника — это длина ломанной: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т.д.

Саркисян Роман

Исследовательская работа «Задачи на разрезание» выполнена учениками 8 класса

Учащимися приводятся и исследуются приемы разрезания фигур в играх «Пентамино», «Танграмм», головоломках, доказательстве теорем.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Предварительный просмотр:

Научно -исследовательская работа на тему

«Задачи на разрезание»

Выполнили: Саркисян Роман, Шаврова Анастасия,

учащиеся 8 класса

МБОУ «Северомуйская СОШ»

Руководитель: учитель математики Огаркова И.И

1. Введение
2. Историческая справка
3. Игра «Пентамино»
4. Игра «Танграм»
5. Задача «Торт»
6. Задача №4- «Разрежь прямоугольник»
7. Задача №5 - «Разрежь два квадрата»
8. Задача №6- «Разрежь два квадрата-2»
9. Задача №7 – Крест
10. Задача №8 – Крест -2
11. Задача №9- Квадрат 8*8
12. Задача №10 Площадь параллелограмма
13. Задача №11 Площадь трапеции
14. Задача №12 Площадь треугольника
15. Заключение
16. Литература.

Введение

«Решение задач – практическое искусство, подобное

плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано;

научиться ему можно, только подражая хорошим

образцам и постоянно практикуясь»

Д. Пойя

Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то особенно понравившейся задачей. Богатым источником таких задач служат различные олимпиады – школьные, городские, дистанционные, международные. Готовясь к олимпиадам, мы рассмотрели множество разноплановых заданий и выделили группу задач, подход к решению которых нам показался интересным и оригинальным. Это задачи на разрезание. У нас возникали вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на разрезание.

Актуальность (Слайд 2)

1. Математики открывают новые связи между математическими объектами. В результате этой работы находятся общие методы для решения различных задач. И эти задачи получают стандартные методы решения, переходя из разряда творческих в разряд технических, то есть требующих для своего решения применения уже известных методов.
2. Задачи на разрезание помогают как можно раньше формировать геометрические представления у школьников на разнообразном материале. При решении таких задач возникает ощущение красоты, закона и порядка в природе.

Объект исследования : задачи на разрезание

Предмет исследования : многообразие задач на разрезание, методы и приёмы их решения.

Методы исследования : моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.

(Слайд3) Основная цель исследования заключается в расширении знаний о многообразии задач на разрезание.

Для достижения поставленной цели предусматриваем решение следующих задач: (Слайд 4)

1. подобрать необходимую литературу
2. научиться разрезать геометрические фигуры на части, необходимые для составления той или иной другой геометрической фигуры, используя их свойства и признаки;
3. научиться доказывать, что площади фигур равны, разрезая их на определенные части и доказывая, что эти фигуры равносоставленные;
4. провести геометрическое исследование, конструирование в решении задач различных типов.
5. отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию
6. проанализировать и систематизировать полученную информацию
7. найти различные методы и приёмы решения задач на разрезание
8. классифицировать исследуемые задачи
9. найти способы перекраивания: треугольника в равносоставленный параллелограмм; параллелограмма в равносоставленный треугольник; трапеции в равносоставленный треугольник.
10. Создать электронную презентацию работы

Гипотеза: возможно, многообразие задач на разрезание, их «занимательность», отсутствие общих правил и методов решения вызывают у школьников затруднения при их рассмотрении. Предположим, что при более внимательном исследовании задач на разрезание, мы убедимся в их востребованности, оригинальности, полезности.

При решении задач на разрезание нам не понадобится знание основ планиметрии, а будут нужны именно смекалка, геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения, которые известны всем.

(Слайд 5) Историческая справка

Задачи на разрезание, как один из видов головоломок, привлекали к себе внимание с древнейших времен. Первый трактат, в котором рассматриваются задачи на разрезание, написал знаменитый арабский астроном и математик из Хорасана Абу аль – Вефа (940 – 998 н.э.). В начале XX века благодаря бурному росту периодических изданий решение задач на разрезание фигур на то или иное число частей и последующее составление из них новой фигуры привлекает внимание как средство развлечения широких слоев общества. Теперь и геометры всерьёз занялись этими задачами, тем более, что в их основе лежит старинная задача о равновеликих и равносоставленных фигурах, которая исходит еще от античных геометрах. Известными специалистами в этом разделе геометрии были знаменитые классики занимательной геометрии и составители головоломок Генри Э. Дьюдени и Гарри Линдгрен.

Энциклопедией решения различных задач на разрезание является книга Гарри Линдгрена «Геометрия разрезаний». В этой книге можно найти рекорды по разрезанию многоугольников на заданные фигуры

Рассматривая решения задач на разрезание понимаешь, что универсального алгоритма или метода не существует. Иногда начинающий геометр в своем решении может значительно превзойти более опытного человека. Это простота и доступность является основой популярности игр основанных на решении таких задач, например - (Слайд 6) пентамино «родственницы» тетриса, танграмма.

(Слайд7) Игра «Пентамино» Правила игры

Суть игры заключается в конструировании на плоскости разнообразных предметных силуэтов. Игра заключается в складывании различных фигур из заданного набора пентамино. Набор пентамино содержит 12 фигурок, каждая из которых составлена из пяти одинаковых квадратов, причём квадраты «соседствуют» друг с другом только сторонами.

Игра «Танграмм» (Слайд 8)

В игре « танграмм», из семи базовых элементов можно сложить значительное множество фигур. Все собираемые фигуры должны иметь равную площадь, т.к. собираются из одинаковых элементов. Отсюда следует что:

1. В каждую собираемую фигуру должны войти непременно все семь элементов.
2. При составлении фигуры элементы не должны налегать друг на друга, т.е. располагаться только в одной плоскости.
3. Элементы фигур должны примыкать один к другому.

Задания

В игре танграмм можно выделить 3 основные категории заданий:

1. Поиск одного или нескольких способов построения данной фигуры или изящного доказательства невозможности построения фигуры.
2. Нахождение способа, позволяющего с наибольшей выразительностью или юмором (или тем и другим вмести) изобразить силуэты животных, людей и другие узнаваемые предметы.
3. Решение различных задач комбинаторной геометрии, возникающих в связи с составлением фигур из 7 танов.

Задача 3 (Слайд 9)

Торт , украшенный розочками, тремя прямолинейными разрезами разделили на куски так, что на каждом куске оказалось, ровно по одной розочке. Какое наибольшее число розочек могло быть на торте?

Комментарий. В основе решения задачи лежит применение аксиомы: «Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости». Следует изобразить всевозможные случаи расположения трех прямых. Из рисунка становится, что наибольшее число частей – 7 – получается, когда прямые пересекаются попарно. Следовательно, на торте могло быть не более 7 розочек.

Задача 4 (Слайд10)

Разрежьте прямоугольник , ax2a на такие части,что из них можно было составить равновеликий ему:

1) прямоугольный треугольник;

2) квадрат.

Решение задачи понятно из рисунков 2 и 3.

Задача 5 (Слайд 11)

Разрежьте два квадрата 1х1 и 3х3 на такие части, чтобы из них можно было составить равновеликий им квадрат.

Комментарий. Эта задача – на перекраивание фигуры, состоящий из двух квадратов, в равновеликий ей квадрат. Площадь нового квадрата равна 3 2 +1 2 , значит, сторона квадрата, равновеликого сумме данных квадратов равна, т. е. является гипотенузой прямоугольника с катетами 3 и 1. Построение такого квадрата понятно из рисунка 4

Задача 6 (Слайд 12)

Разрежьте два произвольных квадрата на такие части, чтобы из них можно было составить равновеликий им квадрат.

Решение задачи понятно из рисунка 5. Площадь нового квадрата равна a 2 + b 2 , значит, сторона квадрата, равновеликого сумме данных квадратов равна

т. е. является гипотенузой прямоугольно- го треугольника с катетами a и b.

Задача 7 (Слайд 13)

Крест составлен из пяти квадратов: один квадрат в центре, а остальные четыре прилежат к его сторонам. Разрежьте его на такие части, чтобы из них можно было составить равновеликий ему квадрат.

Решение задачи понятно из рисунка 6.

Задача 8 (Слайд 14)

Крест составлен из пяти квадратов: один квадрат в центре, а остальные четыре прилежат к его сторонам. Как шестью такими крестами оклеить поверхность луба, каждая грань которого равновелика кресту.

Комментарий. Крест накладывается на грань (рис. 7), обрезать и переклеивать «торчащие уши» не надо – они переходят на соседнюю грань и оказываются в нужных местах. Завернув «торчащие уши» на соседние грани, можно таким образом заклеить поверхность куба шестью крестами (рис.8).

Задача 9 (Слайд 15)

Квадрат 8х8 разрезан на четыре части, как показано на рисунке 9. Из полученных частей составлен прямоугольник 13х5 . Площадь прямоугольника равна 65, а площадь квадрата – 64. Объясните, где ошибка.

В ниманию репетиторов по математике и преподавателей различных факультативов и кружков предлагается подборка занимательных и развивающих геометрических задач на разрезание. Цель использования репетитором таких задач на своих занятиях — не только заинтересовать ученика интересными и эффектными комбинациями клеток и фигур, но и сформировать у него чувство линий, углов и форм. Комплект задач ориентирован главным образом на детей 4-6 классов, хотя не исключено его использование даже со старшеклассниками. Упражнения требуют от учащихся высокой и устройчивой концентрации внимания и прекрасно подходят для развития и тренировки зрительной памяти. Рекомендуется для репетиторов математики, занимающихся подготовкой учеников к вступительным экзаменам в математические школы и классы, предъявляющие особые требования к уровню самостоятельного мышления и творческим способностям ребенка. Уровень задач соответсвует уровню вступительных олимпиад в лицей «вторая школа» (вторая математическая школа), малому Мехмату МГУ, Курчатовской школе и др.

Примечание репетитора по математике:
В некоторых решения задач, которые вы можете посмотреть щелкнув на соответствующем указателе, указан лишь один из возможных примеров разрезания. Я вполне допускаю, что у вас может получиться какая-то другая верная комбинация — не надо этого бояться. Проверьте тщательно решение вашего мылыша и если оно удовлетворяет условию, то смело принимайтесь за следующую задачу.

1) Попробуйте разрезать изображенную на рисунке фигуру на 3 равные по форме части:

: Маленькие фигуры очень похожи на букву Т

2) Разрежьте теперь эту фигуру на 4 равные по форме части:

Подсказка репетитора по математике : Легко догадаться, что маленькие фигурки будут состоять из 3 клеточек, а фигур из трех клеточек не так много. Их всего два вида: уголок и прямоугольник 1×3.

3) Разрежьте данную фигуру на 5 равных по форме частей:

Найдите количество клеточек, из которых состоит каждая такая фигура. Эти фигурки, похожи на букву Г.

4) А теперь нужно разрезать фигуру из десяти клеток на 4 неравных друг другу прямоугольника (или квадрата).

Указание репетитора по математике : Выделите какой-нибудь прямоугольник, а затем в оставшиеся клетки попробуйте вписать еще три. Если не получается, то смените первый прямоугольник и попробуйте еще раз.

5) Задача усложняется: нужно фигуру разрезать на 4 разных по форме фигурки (не обязательно на прямоугольники).

Подсказка репетитора по математике : нарисуйте сначала отдельно все виды фигур разной формы (их будет больше четырех) и повторите метод перебора вариантов как в предыдущей задаче.
:

6) Разрежьте эту фигуру на 5 фигур из четырех клеток разной формы таким образом, чтобы в каждой их них была закрашена только одна зеленая клетка.

Подсказка репетитора по математике: Попробуйте начать разрезание с верхнего края данной фигуры и вы сразу поймете, как действовать.
:

7) По мотивам предыдущей задачи. Найдите сколько всего имеется фигур различной формы, состоящих ровно из четырех клеток? Фигуры можно крутить, поворачивать, но нельзя поднимать состола (с его поверхности), на котором она лежит. То есть две приведенные фигурки не будут считаться равными, так как они не могут получаться друг из друга при помощи поворота.

Подсказка репетитора по математике: Изучите решение предыдущей задачи и постарайтесь представить себе различные положения этих фигур при повороте. Нетрудно догадаться, что ответом в нашей задаче будет число 5 или больше. (На самом деле даже больше шести). Всего существует 7 типов описанных фигур.

8) Разрежьте квадрат из 16 клеток на 4 равные по форме части так, чтобы в каждой из четырех частей была ровно одна зеленая клетка.

Подсказка репетитора по математике : Вид маленьких фигурок не квадрат и не прямоугольник, и даже не уголок из четырех клеток. Так на какие же фигуры надо попытаться разрезать?

9) Изображенную фигуру разрежьте на две части таким образом, чтобы из полученных частей можно было сложить квадрат.

Подсказка репетитора по математкие : Всего в фигуре 16 клеток — значит, квадрат будет размеро 4×4. И еще как-то нужно заполнить окошко в середине. Как это сделать? Может быть каким-нибудь сдвигом? Тогда поскольку длина прямоугольника равна нечетном учислу клеток, разрезание нужно провести не вертикальным разрезом, а по ломаной линии. Так, чтобы верхняя часть отрезалась с одной стороны от средние клетки, а нижняя с другой.

10) Разрежьте прямоугольник размером 4×9 на две части с таким расчетом, чтобы в результате из них можно было сложить квадрат.

Подсказка репетитора по математике : Всего в прямоугольнике 36 клеток. Поэтому квадрат получится размером 6×6. Так ка кдлинная сторона состоит из девяти клеток, то три из них нужно отрезать. Как дальше пойдет этот разрез?

11) Крестик из пяти клеток, показанный на рисунке требуется разрезать (можно резать сами клетки) на такие части, из которых можно было бы сложить квадрат.

Подсказка репетитора по математике : Понятно, что как бы мы по линиям клеточек не резали — квадрат не получим, так как клеток всего 5. Это задача единственная, в которой разрешается резать не по клеткам . Однако их все равно хорошо бы оставить в виде ориентира. например, стоит заметить, что нам как-то нужно убрать углубления, которые у нас есть — а именно, во внутренних углах нашего креста. Как бы это сделать? Например, срезая какие-то выпирающие треугольники из внешних уголков креста...

Перед вами листок бумаги с изображением: а) треугольника, б) пятиконечной звезды, в) многоугольника в форме плывущего лебедя. В каждом случае придумайте , как сложить листок, чтобы после этого соответствующую фигуру можно было вырезать одним непрерывным прямолинейным разрезом ножницами.

Подсказка

Во всех случаях решение почти полностью состоит из шагов двух типов: складывать нужно или по биссектрисе какого-то из связанных с фигурой углов (чтобы «уменьшить» число оставшихся не на одной линии отрезков), или по перпендикуляру к одному из отрезков (чтобы «подогнать» его длину до нужной).

Решение

На рисунках ниже показано, как нужно складывать фигуры из условия задачи, чтобы потом вырезать каждую из них одним разрезом.

С треугольником более-менее все понятно: складываем по одной биссектрисе, потом - по другой (рис. 1).

Со звездой тоже довольно легко справиться. Сначала нужно сложить ее пополам вдоль оси симметрии (вполне естественное действие - раз уж можно «уполовинить» фигуру одним махом). Затем - совместить два луча звезды друг с другом, сложив по биссектрисе ее «внешнего» угла. После этого от контура останется всего три отрезка, которые уже несложно совместить (рис. 2).

С лебедем сложнее всего. Это понятно: фигура без симметрий, с большим числом сторон; поэтому потребуется большое число складок. Схема, по которой надо складывать, изображена на рис. 3. Простые пунктирные линии изображают складки «вниз», пунктиры точка-тире изображают складки «вверх». Сначала нужно наметить эти складки по отдельности, чтобы лист приобрел форму крыши дома, а только потом складывать лист в плоскую фигуру.

На серии фотографий показан весь процесс складывания:

О том, откуда возникает такая хитроумная система складок, читайте в послесловии.

Послесловие

Все предложенные в условии варианты - это всего лишь частные случаи общего вопроса, который звучит так:

Дан многоугольник на плоском листе бумаги, можно ли так сложить этот лист, чтобы многоугольник можно было вырезать одним прямым разрезом?

Оказывается, вне зависимости от формы многоугольника, ответ на этот вопрос всегда положительный: да, можно. (Разумеется, мы сейчас обсуждаем эту задачу с точки зрения математики и не касаемся «физической» стороны дела: слишком много раз лист бумаги невозможно сложить. Считается, что даже очень тонкую бумагу больше 7-8 раз перегнуть невозможно. Это почти так: при некотором старании можно сделать 12 перегибов, но больше уже вряд ли получится.)

Более того, если многоугольников нарисовано несколько, то лист все равно можно сложить так, чтобы все их можно было бы вырезать одним разрезом (и ничего лишнего бы не вырезалось). Все дело в том, что верна следующая теорема:

Пусть на листе бумаги нарисован произвольный граф . Тогда этот лист можно сложить так, чтобы данный граф можно было вырезать одним разрезом, и ничего лишнего вырезано не будет.

У этой теоремы алгоритмическое доказательство. То есть в ее доказательстве дается явный рецепт, как построить нужную систему складок.

Вкратце суть такова. Сначала мы должны построить прямолинейный скелет (straight skeleton). Это набор линий - траекторий вершин исходного многоугольника, - по которым они движутся при его специальном сжатии. Сжатие устроено так: мы двигаем стороны многоугольника «внутрь» с постоянной скоростью, чтобы при этом каждая сторона двигалась, не меняя своего направления. Как несложно убедиться, поначалу вершины будут ползти по биссектрисам углов многоугольника. То есть эта на первый взгляд странная конструкция просто обобщает идею, предложенную в подсказке: что надо стараться складывать по биссектрисам углов многоугольника. Отметим, что в процессе сжатия многоугольник может «развалиться» на части, как это произошло на рис. 5.

После того как скелет получен, из каждой его вершины нужно провести лучи, перпендикулярные к тем сторонам исходной фигуры, к которым их можно провести. Если луч натыкается на линию из скелета, то после пересечения он должен продолжиться не прямо, а вдоль своего зеркального отражения относительно этой линии. Система складок состоит из проведенных линий.

Подробнее об этом и о том, как определять направление складки («вверх» или «вниз»), можно прочитать в статье E. D. Demaine, M. L. Demaine, A. Lubiw, 1998. Folding and Cutting Paper . Краткую историю и еще один подход к решению задачи можно найти на страничке Эрика Демейна, одного из авторов доказательства теоремы. Также можно почитать чуть более популярный рассказ об этой теореме (к сожалению, тоже на английском). Ну и наконец, советую посмотреть мультфильм «Математических этюдов», в котором прекрасно видно, как нужно складывать треугольник и звезду, чтобы потом вырезать их одним разрезом.

Напоследок отмечу, что вопросы, подобные обсуждавшимся выше, поднимались уже довольно давно. Например, в японской книге 1721 года в качестве одной из задачек читателям предлагалось вырезать одним разрезом фигурку из трех объединенных ромбов (рис. 6). Позже метод вырезания звезды объяснял в своей книге знаменитый иллюзионист Гарри Гудини. Кстати, по легенде, как раз благодаря тому, что такую звезду можно быстро вырезать из бумаги или ткани, сейчас на флаге США мы видим именно пятиконечные звезды: швея Бетси Росс , которая, по преданию, сшила первый флаг, смогла убедить Джорджа Вашингтона, что их лучше использовать для флага, чем шестиконечные, которые изначально хотел использовать Вашингтон.